Нападающий родился в Чите в 1997 году, где и начал заниматься хоккеем. Затем перебрался в Москву в СДЮШОР «Динамо», откуда - в школу «Белые Медведи», в которой тренировался под руководством одного из самых известных детских тренеров Геннадия Курдина. Дебютировал в МХЛ 3 сентября 2014 года в составе молодёжной команды московского «Динамо» в матче против ХК «Рига» (4:3). В Континентальной хоккейной лиге первый матч в составе бело-голубых сыграл 13 ноября 2016 года против ЦСКА. В КХЛ также выступал за «Салават Юлаев», «Трактор», «Спартак» и «Адмирал». Николай Чебыкин – двукратный обладатель Кубка Петрова. Первый трофей форвард выиграл в составе балашихинского «Динамо» в 2017 году, второй – в составе «Динамо» (Санкт-Петербург) в 2018 году. 
На уровне сборных выступал в 2014 году на Мировом кубке Вызова в составе юниорской сборной России и завоевал вместе с командой бронзовые медали. В апреле 2015 года выступал на чемпионате мира среди юниоров, проходившем в Швейцарии. 
Состав «Сочи» пополнил 4 декабря 2023 года в результате обмена с «Адмиралом».