Нападающий родился в Омске, там же стал заниматься хоккеем. В 17 лет он решил отправиться за океан, начав играть в юниорской лиге Квебека. В 2018 году «Калгари» задрафтовал Дмитрия в 7-м раунде, весной 2019-го он подписал с клубом контракт новичка. Три сезона Дмитрий Завгородний играл за команду Rimouski Oceanic в QMJHL. В сезоне 2020/2021 форвард вернулся в Россию, сыграл 6 матчей в составе СКА, а затем вновь отправился в Северную Америку, где начал играть в АХЛ за «Стоктон Хит». Не получив должного доверия со стороны тренеров в АХЛ, в декабре 2021 года Дмитрий приехал в родную страну, подписав контракт с «Сочи» до конца сезона. В феврале 2022 года по инициативе игрока контракт нападающего с ХК «Сочи» был расторгнут, при этом клуб сохранил спортивные права на хоккеиста. Дмитрий вновь отправился в Северную Америку в систему «Калгари», с которым у него был действующий контракт, и продолжил выступать за фарм-клуб в АХЛ. В мае соглашение с «Калгари» было расторгнуто, после чего нападающий получил возможность подписать новый контракт с ХК «Сочи», который действует до 30 апреля 2024 года. 
Дмитрий Завгородний играл на юниорском чемпионате мира-2018 в Челябинске (там сборная России уступила в четвертьфинале команде США), дважды участвовал в Суперсерии CHL Canada Russia Series, где молодежная сборная России встречалась со сборными канадских юниорских лиг, и в сезоне 2019/2020 был одним из кандидатов на поездку на молодежный чемпионат мира. Но вмешалась травма: форвард сломал ключицу в матче чемпионата QMJHL против «Шавинигана» (6:4) и выбыл из строя на два месяца.