Нападающий родился во Владивостоке в 2003 году, но затем семья переехала в Челябинск, и именно там Тигран получил хоккейное образование в школе «Трактора», одной из сильнейших в России. В МХЛ дебютировал в сезоне 2019/2020 за «Белых Медведей», а в середине следующего сезона перешёл из челябинской команды в подмосковный «Капитан». В сезоне 2021/2022 стал лучшим бомбардиром команды, набрав в 59 матчах 43 (18+25) очка. Нападающий привлекался в состав юниорской и молодёжной сборных России. Сезон 2022/2023 годов начал в ВХЛ за «Ростов», где отметился первой заброшенной шайбой в игре с тульской АКМ. Первый матч в КХЛ Тигран Ярулин провёл 16 октября 2022 года против «Северстали» и отметился голевой передачей. Первую шайбу в Лиге забросил в домашней игре с «Локомотивом» 9 ноября 2022 года (4:3 ОТ). Двусторонний контракт с ХК «Сочи» действует до 30 апреля 2025 года.